Методические рекомендации на тему «Графические методы решения задач»

Гайнанова Мадина Газизовна, учитель математики МБОУ «Гимназия №7» г. Казани

Очень часто графическая иллюстрация позволяет найти оптимальный способ решения, т. к. позволяет сократить перебор различных случаев, который пришлось бы выполнить при аналитическом решении.

При решении задач с параметрами графическим способом удобно рассматривать графики функций с параметрами в виде семейства линий. Уравнение F(x, у, а) = 0 при каждом фиксированном значении параметра а задает на плоскости XOY линию. При изменении параметра а получают множество линий, которое называется семейством линий.

Чтобы успешно овладеть способом построения семейств, нужно твердо знать преобразования графиков (сдвиги по осям координат, растяжение, сжатие и т.д.) т. е., алгоритм построения графиков функций вида у =f(х)+а; у =f(х+ а); у = kf(х); у = f(k х); у = — f(х); у = f(-х).

Для иллюстрации преобразований удобно применять мультимедийные презентации с «подвижными» графиками, красочными иллюстрациями, что позволяет существенно упростить восприятие сложных, на первый взгляд, моментов. Особенно удачно получаются слайды с анимациями, иллюстрирующие сдвиги, растяжения и сжатия по оси х и по оси у, а также комбинации нескольких различных преобразований: двигающаяся вверх-вниз парабола, расширяющаяся или сжимающаяся синусоида, «раздувающаяся окружность, вращающаяся прямая и т.д. К созданию презентаций можно подключать и сильных учеников. Такие поручения полезны и для самого учащегося, так как способствуют более глубокому изучению проблемы, а также пополнению умений и навыков по применению информационных технологий, что, несомненно, пригодится в будущем образовании.

После повторения графиков функций и их преобразований можно предлагать задания следующего вида:

Задание 1. Постройте графики следующих функций. Как можно назвать полученные семейства графиков?

а) y=k(x-5)-3; б) y=а(х-1)²+3; г)x²+(y-b)²=4; д) е)(х-3)²+(y+2)²=a.

Ответ: а) пучок прямых, проходящих через точку (5;-3); б) семейство парабол, проходящих через точку (0;3); в) семейство окружностей с центрами на оси у и радиусами 2; г) при a>0, семейство концентрических окружностей с центром в точке (3;2) и радиусом ; при а = 0, точка (3; -2); при а<0, пустое множество

Задания с параметрами часто содержат знак модуля, а задания с модулями всегда вызывали затруднения у учащихся. Поэтому тематическое повторение должно содержать и свойства функций вида y=f(|x|); y=|f(x)|; |y|=f(x), четкие алгоритмы построения данных графиков. Данные алгоритмы также целесообразно оформить в виде презентаций PowerPoint. Возможности программы позволяют создавать анимированные слайды с пошаговым алгоритмом построения данных графиков, что является незаменимым помощником для учащихся при построении графиков в сложных случаях.

При переходе к таким заданиям важно соблюдать принцип от простого к сложному. На начальном этапе можно предложить такие задания: Задача 1. Определите, при каком значении параметра система уравнений имеет а)1 решение, б) 3 решения?

Целесообразно продемонстрировать презентацию с графиками уравнений: неподвижной окружностью и двигающейся по оси у параболы (рис. 2).

Ответ: а) = -3; б) (-3: 3).

Задача 2. Определите, при каком значении параметра система уравнений имеет а)1 решение, б)3 решения, в)2 решения?

в) Решение: По графику можно определить, что система уравнений имеет 2 решения, если: 1)-4< <0, т.е., стороны угла пересекают окружность, 2)стороны угла касаются окружности. Тогда = r + ОР. Из треугольника ОРК ОР = 2 , следовательно, = 2 + 2 (рис. 3).

Ответ: а) = о; б) = -4; в) (-4; 0)

Задача 3. При каком значении параметра а уравнение a = |x²-6|x|+3| имеет а) 4 корня; б) 8 корней.

Решение: Построим графики функций у = а и у=|x²-6|x|+3|. По графику можно определить, что условие задачи выполняется, если а) а = 0 или 6; б) 0 а 3 (рис.4). Ответ: а) 0 и 6; б) (0;3)

После выполнения таких несложных заданий полезно предложить самостоятельно составить несколько систем уравнений или неравенств с параметрами и решить их графически. Следующим шагом является переход к более сложным задачам, а также к задачам ЕГЭ.

Координатно-параметрический способ решения задач с параметрами.

Данный способ основан на нахождении множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координат х и параметра а, каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи соотношению. Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра а=const поставить в соответствие координатных точек этого множества, дающие искомое значение задачи. Рассмотрим простейшие примеры:

Задача 4. При каких значениях параметра а система имеет 2 решения:

Решение: Построим множество решений данной системы уравнений на плоскости (а; х). Окружность и «уголок» пересекаются в 2 точках при = (рис.5). Ответ: = .

Задача 5. При каких значениях параметра а уравнение + = ах + 6 имеет более двух корней.

Решение. При х = 0 получим 6 = 6, что означает, что число 0 является корнем уравнения при любом х.

При х ≠ 0, уравнение примет вид: а = . Раскрыв модули в каждом промежутке, получим:

а =

Построим в плоскости (х, а) точки, координаты которых удовлетворяют полученным уравнениям (рис.6). По графику можно определить, что условие задачи выполняется, если а = 0.

Ответ: а = 0. .

Метод областей.

Для решения неравенств с двумя переменными вида f(х;у)g(х;у)… , f(х;у)g(х;у)… часто применяют «метод областей». Суть метода заключается в следующем: кривые вида f(х;у)=0; g(х;у)=0,… разбивают координатную плоскость на области, в каждой из которых выражение f(х;у)g(х;у)… сохраняет знак,поэтому достаточно построить графики функций и определить знаки в каждой области, затем выбрать области с нужными знаками. Рассмотрим несколько примеров:

Задача 6.. Изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (х-у)(ху-1)≤0 на координатной плоскости.

Решение: Найдем уравнения «граничных линий: (х-у)(ху-1) 0, Построим «граничные» линии, которые разбивают координатную плоскость на несколько областей (рис. 7 а). Определим знак выражения (х-у)(ху-1) в одной области, подставив в нее координаты произвольной точки из этой области. Например, в области, содержащей точку (0;1), получится знак +, а в других областях знаки чередуются.

Задача 7. А. Л. Семенов, И. В. Ященко. Типовые тестовые задания.2013 год. Вар. 5, С5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не имеет решения.

Решение: 1) Первое неравенство решим методом областей. Построим в системе координат (а; х) графики функций х = а и х = 2 + , которые делят плоскость на 6 областей (рис.7б). Расставим знаки в этих областях, определив координаты в отдельных точках каждой области. Решением первого неравенства являются координаты точек из областей со знаком +. 2)Решением второго неравенства является координаты точек, расположенных выше правой ветви гиперболы х = и ниже левой ее ветви. 3) Найдем решение системы, т. е., пересечение двух множеств. По графику можно определить, что система не имеет решений при значениях параметра -2 Ответ: (-2;

Литература.

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.
Корянов А.Г., Прокофьев А. А., Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений, alexlarin. narod.ru 16.04 2011.
Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.
Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. Учебное пособие. – М.: МИЭТ, 2004.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Использование метода наглядной графической интерпретации при решении уравнений и неравенств с параметрами. // Математика в школе. 2011. №1. – стр. 18-26 и 2011. №2. – стр. 25-32.
Высоцкий В.С., Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ- М., Научный мир, 2011.
Козко А.И., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г., ЕГЭ 2010, Математика. Задача С5. Под редакцией Семенова А.Л. и Ященко И.В. – М., МЦНМО, 2010г.
Семенов А.Л., Ященко И. В.. Типовые тестовые задания. М., Экзамен, 2013 год.